UNIVARIATEプロシジャ

例4.31 対数正規分位点プロットからの3パラメータの推定

この例は例4.30の続きで、3パラメータ対数正規分布の形状パラメータ、しきい値パラメータ、尺度パラメータ、理論パーセント点を推定する方法を示しています。

3パラメータ対数正規分布は、しきい値パラメータ $\theta$ 、尺度パラメータ $\zeta$ 、形状パラメータ $\sigma$ に依存します。SIGMA= 2次オプションを使用して、さまざまな $\sigma$ の値を指定した一連の対数正規Q-Qプロットから、 $\sigma$ を推定できます。点のパターンが線形になる値が $\sigma$ の推定値になります。次に、点のパターンの切片と傾きから、しきい値パラメータと尺度パラメータを推定できます。次のステートメントは、 $\sigma$ 値に0.2、0.5および0.8を使用して、出力4.31.1、出力4.31.2、出力4.31.3に、一連のプロットをそれぞれ作成します。

title 'Lognormal Q-Q Plot for Diameters';
proc univariate data=Measures noprint;
   qqplot Diameter / lognormal(sigma=0.2 0.5 0.8)
                     square
                     odstitle = title;
run;

注: 対数正規Q-Qプロットの形状パラメータ $\sigma$ の値は、SIGMA=オプションまたはその別名のSHAPE=オプションで指定する必要があります。

出力4.31.1: 対数正規Q-Qプロット( $\sigma$ =0.2)

出力4.31.2: 対数正規Q-Qプロット( $\sigma$ =0.5)

出力4.31.3: 対数正規Q-Qプロット( $\sigma$ =0.8)

出力4.31.2のプロットに最も線形に近い点のパターンが表示され、 $\sigma =0.5$ による当てはめがデータ分布に対して適切であることを示しています。

この対数正規分布によるデータの密度関数は次のようになります。

$p(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }(x-\theta )} \exp \left( -2(\log (x-\theta )-\zeta )^{2}\right) & \mbox{ for }x > \theta \\ 0 & \mbox{ for } x \leq \theta \end{array} \right.$

プロットの点は、切片が $\theta$ で傾きが $\exp (\zeta )$ の線上またはその近くにプロットされます。出力4.31.2に基づいて、 $\theta \approx 5$ および $\exp (\zeta ) \approx \frac{1.2}{3} = 0.4$ で、 $\zeta \approx \log (0.4) \approx -0.92$ が求められます。

SIGMA=、THETA=およびZETA=の各オプションを併用して、参照線を要求することもできます。次のステートメントは出力4.31.4の対数正規Q-Qプロットを作成します。

title 'Lognormal Q-Q Plot for Diameters';
proc univariate data=Measures noprint;
   qqplot Diameter / lognormal(theta=5 zeta=est sigma=est)
                     square
                     odstitle = title;
run;

出力4.31.1から出力4.31.3は、しきい値パラメータ $\theta$ が0に等しくないことを示しています。THETA=5の指定はデフォルト値の0より優先されます。SIGMA=ESTおよびZETA=ESTの2次オプションは、標本平均と標準偏差による $\sigma$ と $\exp \zeta$ の推定値を要求します。

出力4.31.4: 対数正規Q-Qプロット( $\sigma$ =est、 $\zeta$ =est、 $\theta$ =5)

出力4.31.2のプロットから、 $\sigma$ は0.51と推定できます。これは出力4.31.2のプロットから導びかれる推定値0.5と一致しています。例4.32では、対数正規Q-Qプロットを使用してパーセント点を推定する方法を示しています。

この例のサンプルプログラムuniex18.sasは、Base SASソフトウェアのSASサンプルライブラリに含まれています。