UNIVARIATEプロシジャ

確率プロットとQ-Qプロットの分布

サブセクション

PROBPLOTおよびQQPLOTステートメントを使用して、表4.33に要約されている理論分布に基づく、確率プロットとQ-Qプロットを要求できます。

表4.33: 分布とパラメータ

				パラメータ
分布	密度関数 $p(x)$		Range	位置	尺度	SHAPE
BETA	$\frac{(x-\theta )^{\alpha -1}(\theta +\sigma -x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )\sigma ^{(\alpha +\beta -1)}}$		$\theta < x <\theta +\sigma$	$\theta$	$\sigma$	$\alpha$ , $\beta$
指数	$\frac{1}{\sigma }\exp \left(-\frac{x-\theta }{\sigma }\right)$		$x \geq \theta$	$\theta$	$\sigma$
GAMMA	$\frac{1}{\sigma \Gamma (\alpha )} \left(\frac{x-\theta }{\sigma }\right)^{\alpha -1} \exp \left(-\frac{x-\theta }{\sigma }\right)$		$x>\theta$	$\theta$	$\sigma$	$\alpha$
Gumbel	$\frac{e^{-(x-\mu )/\sigma }}{\sigma } \exp \left( -e^{-(x-\mu )/\sigma }\right)$		すべてのx	$\mu$	$\sigma$
対数正規	$\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi }(x-\theta )} \exp \left(-\frac{(\log (x-\theta )-\zeta )^{2}}{2\sigma ^{2}}\right)$		$x>\theta$	$\theta$	$\zeta$	$\sigma$
(3つのパラメータ)
正規	$\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi }} \exp \left(-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^{2}}\right)$		すべてのx	$\mu$	$\sigma$
一般化	$\alpha \neq 0$	$\frac{1}{\sigma }{(1 - \alpha (x-\theta )/\sigma )}^{1/\alpha -1}$	$x > \theta$	$\theta$	$\sigma$	$\alpha$
パレート	$\alpha = 0$	$\frac{1}{\sigma }\exp (-(x-\theta )/\sigma )$
べき関数	$\frac{\alpha }{\sigma }\left(\frac{x-\theta }{\sigma }\right)^{\alpha -1}$		$x > \theta$	$\theta$	$\sigma$	$\alpha$
レイリー	$\frac{x-\theta }{\sigma ^2}\exp (-(x-\theta )^2/(2\sigma ^2))$		$x \geq \theta$	$\theta$	$\sigma$
Weibull	$\frac{c}{\sigma }\left(\frac{x-\theta }{\sigma }\right)^{c-1} \exp \left(-\left(\frac{x-\theta }{\sigma }\right)^{c}\right)$		$x>\theta$	$\theta$	$\sigma$	C
(3つのパラメータ)
Weibull	$\frac{c}{\sigma }\left(\frac{x-\theta _0}{\sigma }\right)^{c-1} \exp \left(-\left(\frac{x-\theta _0}{\sigma }\right)^{c}\right)$		$x>\theta _0$	$\theta _0$	$\sigma$	C
(2パラメータ)			(既知)

これらの分布は、それぞれ、BETA、EXPONENTIAL、GAMMA、PARETO、GUMBEL、LOGNORMAL、NORMAL、POWER、RAYLEIGH、WEIBULL、WEIBULL2の各オプションで要求できます。分布オプションを指定しなかった場合、正規確率プロットまたは正規Q-Qプロットが作成されます。

次のセクションで、これらの分布に基づくQ-Qプロットの作成の詳細について説明します。確率プロットは、水平軸の尺度がパーセント点単位であることを除いて、同じように作成されます。

ベータ分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $B_{ \alpha \beta }^{-1} \left( \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } \right)$ に対してプロットされます。ここで、 $B_{ \alpha \beta }^{-1} ( \cdot )$ は逆正規化された不完全なベータ関数、nは非欠損オブザベーション数、 $\alpha$ および $\beta$ はベータ分布の形状パラメータです。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

ALPHA= $\alpha$ およびBETA= $\beta$ のプロットのパターンは、データが次の特定の密度関数のベータ分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{(x - \theta )^{\alpha - 1} (\theta + \sigma - x)^{\beta - 1} }{B(\alpha ,\beta ) \sigma ^{(\alpha + \beta - 1)} } & \mbox{for }\theta < x < \theta + \sigma \\ 0 & \mbox{for }x \leq \theta \text { or }x \geq \theta + \sigma \end{array} \right.$

ここで、 $B(\alpha ,\beta ) = \frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}$ および

$\theta =$ 下限のしきい値パラメータ
$\sigma =$ 尺度パラメータ $(\sigma >0)$
$\alpha =$ 1番目の形状パラメータ $(\alpha >0)$
$\beta =$ 2番目の形状パラメータ $(\beta >0)$

指数分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $-\log \! \left(1-\frac{i-0.375}{n+0.25} \right)$ に対してプロットされます。ここで、nは非欠損オブザベーション数です。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

プロットのパターンは、データが次の特定の密度関数の指数分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p( x )= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{ 1 }{ \sigma } \exp \left( - \frac{ x - \theta }{ \sigma } \right) & \mbox{ for } x \geq \theta \\ 0 & \mbox{ for } x < \theta \end{array} \right.$

ここで、 $\theta$ はしきい値パラメータ、 $\sigma$ は正の尺度パラメータです。

ガンマ分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $G_{\alpha }^{-1} \left( \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } \right)$ に対してプロットされます。ここで、 $G_{\alpha }^{-1}(\cdot )$ は逆正規化された不完全なガンマ関数、nは非欠損オブザベーション数、 $\alpha$ はガンマ分布の形状パラメータです。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

ALPHA= $\alpha$ のプロットのパターンは、データが次の特定の密度関数のガンマ分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{ \sigma \Gamma (\alpha ) } \left( \frac{ x - \theta }{ \sigma } \right) ^{\alpha - 1} \exp \left( - \frac{ x - \theta }{ \sigma } \right) & \mbox{for }x > \theta \\ 0 & \mbox{for }x \leq \theta \end{array} \right.$

ここで、

$\theta =$ しきい値パラメータ
$\sigma =$ 尺度パラメータ $(\sigma >0)$
$\alpha =$ 形状パラメータ $(\alpha >0)$

Gumbel分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $-\log \left( -\log \left( \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } \right) \right)$ に対してプロットされます。ここで、nは非欠損オブザベーション数です。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

プロットのパターンは、データが次の特定の密度関数のGumbel分布である場合、切片が $\mu$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \frac{e^{-(x-\mu )/\sigma }}{\sigma } \exp \left( -e^{-(x-\mu )/\sigma }\right)$

$\mu =$ 位置パラメータ
$\sigma =$ 尺度パラメータ $(\sigma >0)$

対数正規分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $\exp \! \left( \sigma \Phi ^{-1} \! \left( \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } \right) \right)$ に対してプロットされます。ここで、 $\Phi ^{-1}(\cdot )$ は逆累積標準正規分布、nは非欠損オブザベーション数、 $\sigma$ は対数正規分布の形状パラメータです。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

SIGMA= $\sigma$ のプロットのパターンは、データが次の特定の密度関数の対数正規分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\exp (\zeta )$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{ \sigma \sqrt {2 \pi }(x - \theta ) } \exp \left(-\frac{ (\log (x - \theta )- \zeta )^{2} }{2 \sigma ^{2} } \right) & \mbox{for }x > \theta \\ 0 & \mbox{for }x \leq \theta \end{array} \right.$

ここで、

$\theta =$ しきい値パラメータ
$\zeta =$ 尺度パラメータ
$\sigma =$ 形状パラメータ $(\sigma > 0)$

例4.26および例4.33を参照してください。

正規分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $\Phi ^{-1} \! \! \left( \frac{i- 0.375}{n+ 0.25} \right)$ に対してプロットされます。ここで、 $\Phi ^{-1}(\cdot )$ は逆累積標準正規分布、nは非欠損オブザベーション数です。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

プロットの点パターンは、データが次の特定の密度関数の正規分布である場合、切片が $\mu$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \begin{array}{ll} \frac{1}{\sigma \sqrt {2 \pi } } \exp \left( -\frac{(x - \mu )^2}{2 \sigma ^{2}} \right) & \mbox{for all }x \\ \end{array}$

ここで、 $\mu$ は平均、 $\sigma$ は標準偏差です( $\sigma > 0$ )。

一般化パレート分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $( 1 - ( 1 - \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } )^{\alpha } ) / \alpha$ ( $\alpha \neq 0$ )または $-\log ( 1 - \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } )$ ( $\alpha = 0$ )に対してプロットされます。ここで、nは非欠損オブザベーション数、 $\alpha$ は一般化パレート分布の形状パラメータです。水平軸の尺度はパーセント単位になります。

ALPHA= $\alpha$ のプロットの点のパターンは、データが次の特定の密度関数の一般化パレート分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\sigma }{(1 - \alpha (x-\theta )/\sigma )}^{1/\alpha -1} & \mbox{if }\alpha \neq 0 \\ \frac{1}{\sigma }\exp (-(x-\theta )/\sigma ) & \mbox{if }\alpha = 0 \end{array} \right.$

ここで、 $\theta =$ しきい値パラメータ $\sigma =$ 尺度パラメータ $(\sigma >0)$ $\alpha =$ 形状パラメータ $(\alpha >0)$

べき関数分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $B_{ \alpha (1) }^{-1} \left( \frac{ i - 0.375 }{ n + 0.25 } \right)$ に対してプロットされます。ここで、 $B_{ \alpha (1) }^{-1} ( \cdot )$ は逆正規化された不完全なベータ関数、nは非欠損オブザベーション数、 $\alpha$ はベータ分布の形状パラメータで、2番目の形状パラメータは $\beta = 1$ です。水平軸の尺度はパーセント点単位になります。

ALPHA= $\alpha$ のプロットの点のパターンは、データが次の特定の密度関数のべき関数分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\alpha }{\sigma }\left(\frac{x-\theta }{\sigma }\right)^{\alpha -1} & \mbox{for }\theta < x < \theta + \sigma \\ 0 & \mbox{for }x \leq \theta \text { or }x \geq \theta + \sigma \end{array} \right.$

ここで、

$\theta =$ しきい値パラメータ
$\sigma =$ 形状パラメータ $(\sigma > 0)$
$\alpha =$ 形状パラメータ $(\alpha > 0)$

レイリー分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $\sqrt {-2 \log \left(1-\frac{i-0.375}{n+0.25} \right)}$ に対してプロットされます。ここで、nは非欠損オブザベーション数です。水平軸の尺度はパーセント単位になります。

プロットの点のパターンは、データが次の特定の密度関数のレイリー分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x-\theta }{\sigma ^2}\exp (-(x-\theta )^2/(2\sigma ^2)) & \mbox{for }x \geq \theta \\ 0 & \mbox{for }x <\theta \end{array} \right.$

ここで、 $\theta$ はしきい値パラメータ、 $\sigma$ は正の尺度パラメータです。

3パラメータWeibull分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、i番目の並べ替えられたオブザベーションが分位点 $\left( -\log \! \left(1-\frac{i-0.375}{n+0.25} \right) \right)^{\frac{1}{c}}$ に対してプロットされます。ここで、nは非欠損オブザベーション数、cWeibull分布の形状パラメータです。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

C=cのプロットのパターンは、データが次の特定の密度関数のWeibull分布である場合、切片が $\theta$ で傾きが $\sigma$ の線形になる傾向があります。

$p(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{c}{\sigma } \left( \frac{x - \theta }{\sigma } \right)^{c - 1} \exp \left( - \left( \frac{x - \theta }{\sigma } \right)^{c} \right) & \mbox{ for }x > \theta \\ 0 & \mbox{ for }x \leq \theta \end{array} \right.$

ここで、

$\theta =$ しきい値パラメータ
$\sigma =$ 尺度パラメータ $(\sigma >0)$
$c =$ 形状パラメータ $( c > 0 )$

例l4.34を参照してください。

2パラメータWeibull分布

プロットを作成するため、オブザベーションは昇順に並べ替えられ、シフトしたi番目の並べ替えられたオブザベーション $x_{(i)}$ の対数(表示は $\log (x_{(i)} - \theta _0 )$ )が分位点 $\log \! \left(-\log \! \left(1-\frac{i-0.375}{n+0.25}\right)\right)$ に対してプロットされます。ここで、nは非欠損オブザベーション数です。確率プロットでは、水平軸の尺度はパーセント単位になります。

3パラメータWeibull分位点と異なり、前の式は分布パラメータを含みません。このため、C=形状パラメータはWEIBULL2分布オプションでは必須ではありません。

THETA= $\theta _0$ のプロットのパターンは、データが次の特定の密度関数のWeibull分布である場合、切片が $\log (\sigma )$ で傾きが $\frac{1}{c}$ の線形になる傾向があります。

$p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{c}{\sigma } \left( \frac{x - \theta _0}{\sigma } \right)^{c - 1} \exp \left( - \left( \frac{x - \theta _0}{\sigma } \right)^{c} \right) & \mbox{ for }x > \theta _0 \\ 0 & \mbox{ for }x \leq \theta _0 \end{array} \right.$

ここで、

$\theta _0 =$ 既知の下限しきい値
$\sigma =$ 尺度パラメータ $(\sigma >0)$
$c =$ 形状パラメータ $(c >0)$

例l4.34を参照してください。