UNIVARIATEプロシジャ

パーセント点の計算

サブセクション

UNIVARIATEプロシジャは、各分析変数の最小値および最大値と、1番目、5番目、10番目、25番目、50番目、75番目、90番目、95番目、99番目のパーセント点(分位点)を自動的に計算します。これらのデフォルトパーセント点以外のパーセント点を計算するには、OUTPUTステートメントのPCTLPTS=オプションおよびPCTLPRE=オプションを使用します。

PCTLDEF=オプションで、5つのパーセント点計算定義のうち1つを指定できます。nは変数の値が非欠損値であるオブザベーション数、 $x_1, x_2, \ldots , x_ n$ は並べ替えられた変数の値を表すとします。また、t番目のパーセント点がyであるとし、 $p = \frac{t}{100}$ と設定した上で、次の式が成り立つとします。

$\begin{array}{rcll} np & =& j+g & ~ ~ \mbox{when PCTLDEF=1, 2, 3, or 5} \\ (n + 1) p & =& j+g & ~ ~ \mbox{when PCTLDEF=4} \end{array}$

ここで、jはnpの整数部分、gはnpの小数部分です。この場合、PCTLDEF=オプションはt番目のパーセント点yを次の表に記述したように定義します。

PCTLDEF	説明	公式
1	$x_{np}$ での重み付き平均	$y = (1-g)x_ j+gx_{j+1}$
		ここで、 $x_{0}$ は $x_{1}$ と解釈されます。
2	npに最も近い番号のオブザベーション	$\begin{array}{ll} y=x_ j & \mbox{if } g < \frac{1}{2} \\ y=x_ j & \mbox{if } g=\frac{1}{2} \mbox{ and } \mi{j} \mbox{ is even} \\ y=x_{j+1} & \mbox{if } g=\frac{1}{2} \mbox{ and } \mi{j} \mbox{ is odd} \\ y=x_{j+1} & \mbox{if } g > \frac{1}{2} \\ \end{array}$
3	経験分布関数	$\begin{array}{ll} y=x_{j} & \mbox{if } g=0 \\ y=x_{j+1} & \mbox{if } g>0 \end{array}$
4	重み付き平均	$y=(1-g)x_ j + gx_{j+1}$
	( $x_{(n + 1) p}$ での)	ここで、 $x_{n + 1}$ は $x_ n$ と解釈されます。
5	平均化された経験分布関数	$\begin{array}{ll} y=\frac{1}{2}(x_ j + x_{j+1}) & \mbox{if } g=0 \\ y=x_{j+1} & \mbox{if } g>0 \end{array}$

重み付きパーセント点

WEIGHTステートメントを使用する場合、パーセント点は異なる方法で計算されます。100p番目の重み付きパーセント点yは、平均化された経験分布関数から計算されます。

$y = \left\{ \begin{array}{cl} x_1 & \mbox{if} \ w_1 > pW \\ \frac{1}{2} ( x_ i + x_{i+1} ) & \mbox{if} \sum _{j=1}^{i} w_ j = pW \\ x_{i+1} & \mbox{if} \sum _{j=1}^{i} w_ j < pW < \sum _{j=1}^{i+1} w_ j \end{array} \right.$

ここで、 $w_ i$ は $x_ i$ に関連付けられた重みであり、 $W = \sum _{i=1}^{n} w_ i$ は重みの合計です。

PCTLDEF=オプションは、WEIGHTステートメントが使用される場合は適用されません。ただし、この場合、重みがすべて同じであれば、重み付きパーセント点は、WEIGHTステートメントを使用せずにPCTLDEF=5で計算されるパーセント点と同じになります。

パーセント点の信頼限界

CIPCTLNORMALオプションを使用すると、データが正規分布であると仮定して、パーセント点の信頼限界を要求できます。これらの限界については、Hahn and Meeker (1991)のセクション4.4.1で説明されています。 $0 < p < \frac{1}{2}$ の場合、 $100p$ 番目のパーセント点の両側の $100(1-\alpha )\%$ 信頼限界は次のようになります。

$\begin{array}{lcl} \mbox{lower limit} & = & \bar{X} - g’(\frac{\alpha }{2};1-p,n) s \\ \mbox{upper limit} & = & \bar{X} - g’(1 - \frac{\alpha }{2};p,n) s \end{array}$

ここで、nは標本サイズです。 $\frac{1}{2} \leq p < 1$ の場合、 $100p$ 番目のパーセント点の両側の $100(1-\alpha )\%$ 信頼限界は次のようになります。

$\begin{array}{lcl} \mbox{lower limit} & = & \bar{X} + g’(\frac{\alpha }{2};1-p,n) s \\ \mbox{upper limit} & = & \bar{X} + g’(1 - \frac{\alpha }{2};p,n) s \end{array}$

片側の $100(1-\alpha )\%$ 信頼限界は、適切な前の式の $\frac{\alpha }{2}$ を $\alpha$ に置き換えて計算されます。因子 $g’(\gamma ,p,n)$ は、非心t分布に関連し、Owen and Hua (1977)およびOdeh and Owen (1980)に説明されています。例4.10を参照してください。

CIPCTLDFオプションを使用すると、パーセント点の分布によらない信頼限界を要求できます。特に、データが正規分布であると仮定する必要がありません。これらの限界については、Hahn and Meeker (1991)のセクション5.2で説明されています。 $100p$ 番目のパーセント点の両側の $100(1-\alpha )\%$ 信頼限界は次のようになります。

$\begin{array}{lcl} \mbox{lower limit} & = & X_{(l)} \\ \mbox{upper limit} & = & X_{(u)} \end{array}$

ここで、 $X_{(j)}$ は、データ値が昇順で並べ替えられている場合のj番目の順序統計量であり、次の式が成り立ちます。

$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \ldots \leq X_{(n)}$

下のランクlと上のランクuは、 $\lfloor np \rfloor +1$ の前後で対称(またはほぼ対称)な整数です。ここで、 $\lfloor np \rfloor$ は $np$ の整数部分であり、 nは標本サイズです。また、lとuは、次の包含確率要件を満たしながら、 $X_{(l)}$ および $X_{(u)}$ ができるだけ $X_{\lfloor np \rfloor +1}$ に近くなるように選択されます。

$Q(u-1;n,p) - Q(l-1;n,p) \geq 1 - \alpha$

ここで、 $Q(k;n,p)$ 累積二項確率であり、次のように表されます。

$Q(k;n,p) = \sum _{i=0}^{k} \left(\begin{array}{c} n \cr i \end{array}\right) p^ i (1-p)^{n-i}$

特にnが小さく、pが0または1に近似している場合、包含要件を満たせないことがあります。対称性の要件を緩和するため、CIPCTLDF(TYPE = ASYMMETRIC)を指定することができます。このオプションは、包含要件を満たすことができる場合は対称限界を要求し、それ以外の場合は非対称限界を要求します。

CIPCTLDF(TYPE = LOWER)を指定すると、片側の $100(1-\alpha )\%$ 下位信頼限界が $X_{(l)}$ として計算されます。ここで、lは次の不等式を満たす最も大きい整数です。

$1 - Q(l-1;n,p) \geq 1 - \alpha$

$0 < l \leq n$ も満たします。同様に、CIPCTLDF(TYPE = UPPER)を指定すると、片側の $100(1-\alpha )\%$ 下位信頼限界が $X_{(u)}$ として計算されます。ここで、uは次の不等式を満たす最も大きい整数です。

$Q(u-1;n,p) \geq 1 - \alpha \; \; \; \mbox{ where } 0 < u \leq n$

パーセント点の信頼限界は、WEIGHTステートメントが指定されている場合は計算されません。例4.10を参照してください。