UNIVARIATEプロシジャ

ベータ分布

適合する密度関数は次のようになります。

ここでおよび

• 下限しきい値パラメータ(下限終点パラメータ)

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

注: この表記は、HISTOGRAMステートメントを使って当てはめる他の分布の表記と一貫性があります。ただし、Johnson、KotzおよびBalakrishnan (1995)など多くのテキストで、ベータ密度関数は次のように記述されています。

これら2つのパラメータ化には次のような関係があります。

ベータ分布の範囲の下限はしきい値パラメータで、上限はです。BETAオプションを使用して当てはめたベータ曲線を指定する場合、は最小データ値より小さく、は最大データ値より大きい必要があります。およびは、キーワードBETAの後のかっこ内のTHETA= / SIGMA= beta-optionsで指定できます。デフォルトでは、およびです。THETA=ESTおよびSIGMA=ESTを指定すると、 および の最尤推定値が計算されます。ただし、3パラメータおよび4パラメータの最尤推定は、収束するとは限りません。

また、およびは、ALPHA= / BETA= beta-optionsでそれぞれ指定できます。デフォルトでは、 および の最尤推定値が計算されます。たとえば、下限が32、上限が212のデータセットに、およびの最尤推定値を使用するベータ密度曲線を当てはめるには、次のステートメントを使用します。

histogram Length / beta(theta=32 sigma=180);

ベータ分布は、Pearson Type IまたはType II分布とも呼ばれます。これには、べき関数分布()、逆正弦分布()、一般化逆正弦分布(、)などが含まれます。

ベータ分布の分位点はDATAステップ関数BETAINV、ベータ分布の確率はDATAステップ関数PROBBETAを使用して計算できます。

指数分布

適合する密度関数は次のようになります。

ここで、

• いき値パラメータ

• 尺度パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

しきい値パラメータは最小データ値以下である必要があります。は、THRESHOLD= exponential-optionで指定できます。デフォルトでは、 です。THETA=ESTを指定すると、 の最尤推定値が計算されます。また、は、SCALE= exponential-optionで指定できます。デフォルトでは、の最尤推定値が計算されます。著者によっては、尺度パラメータをと定義している場合があります。

指数分布は、特殊なケースのガンマ分布(の場合)およびWeibull分布(の場合)です。関連分布は極値分布です。が指数分布である場合、は極値分布です。

ガンマ分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• いき値パラメータ

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

パラメータ は最小データ値未満でなければなりません。は、THRESHOLD= gamma-optionで指定できます。デフォルトでは、 です。THETA=ESTを指定すると、 の最尤推定値が計算されます。また、およびは、SCALE= / ALPHA= gamma-optionsで指定できます。デフォルトでは、 および の最尤推定値が計算されます。

ガンマ分布はPearson Type III分布とも呼ばれ、カイ2乗、指数およびErlangの各分布が含まれます。カイ2乗分布の確率密度関数は次のとおりです。

これは、およびのガンマ分布であることに注意してください。指数分布はのガンマ分布であり、Erlang分布はが正の整数のガンマ分布です。関連分布はレイリー分布です。の場合(は独立した変数)、は次の確率密度関数による分布になります。

の場合、前述の分布はレイリー分布と呼ばれます。

ガンマ分布の分位点はDATAステップ関数GAMINV、ガンマ分布の確率はDATAステップ関数PROBGAMを使用して計算できます。

Gumbel分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• 位置パラメータ

• 尺度パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

およびは、MU= / SIGMA= Gumbel-optionsでそれぞれ指定できます。デフォルトでは、これらのパラメータの最尤推定値が計算されます。

注: Gumbel分布はType 1極値分布とも呼ばれます。

注:乱数変数がGumbel (Type 1極値)分布になるのは、がWeibull分布でが標準指数分布である場合のみです。

逆ガウス分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• 位置パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

位置パラメータは0より大きい必要があります。は、MU= iGauss-optionで指定できます。また、形状パラメータは、LAMBDA= iGauss-optionで指定できます。デフォルトでは、 および の最尤推定値が計算されます。

注:特殊なケース(およびの場合)では、Wald分布に一致します。

対数正規分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• いき値パラメータ

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

パラメータ は最小データ値未満でなければなりません。は、THRESHOLD= lognormal-optionで指定できます。デフォルトでは、 です。THETA=ESTを指定すると、 の最尤推定値が計算されます。およびは、SCALE= / SHAPE= lognormal-optionsでそれぞれ指定できます。デフォルトでは、これらのパラメータの最尤推定値が計算されます。

注:対数正規分布は、Johnson系分布では分布とも呼ばれます。

注:このマニュアルでは、対数正規分布の形状パラメータをで表記していますが、他の分布の尺度パラメータの表記でもを使用しています。対数正規分布の形状パラメータの表記にを使用するのは、が対数正規分布である場合に、が標準正規分布になることに基づいています。この関係に基づき、対数正規分布の分位点はDATAステップ関数PROBIT、確率はDATAステップ関数PROBNORMを使用して計算できます。

正規分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• 平均

• 標準偏差

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

およびは、MU= / SIGMA= normal-optionsでそれぞれ指定できます。デフォルトでは、を標本平均で、を標本標準偏差で推定します。

正規分布の分位点はDATAステップ関数PROBIT、確率はDATAステップ関数PROBNORMを使用して計算できます。

注:正規分布は、Johnson系分布では分布とも呼ばれます。

一般化パレート分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• いき値パラメータ

• 形状パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

分布のサポートは、の場合は、の場合はです。

注:特殊なケースのパレート分布(およびの場合)は、平均の指数分布および間隔の一様分布にそれぞれ一致します。

パラメータ は最小データ値未満でなければなりません。は、THETA= Pareto-optionで指定できます。デフォルトでは、です。また、およびは、ALPHA= / SIGMA= Pareto-optionsでそれぞれ指定できます。デフォルトでは、これらのパラメータの最尤推定値が計算されます。

注:パラメータの最尤推定はの場合は有効ですが、それ以外の場合は有効ではありません。この場合、推定量は漸近的に正規分布に従い、漸近的に有効になります。最尤推定値の漸近正規分布の平均はで、分散共分散行列は次のとおりです。

注:次の空間で極小がない場合、

最尤推定量は存在しません。最尤推定量の算出方法および推奨アルゴリズムの詳細は、Grimshaw(1993)で説明されています。

べき関数分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• 下限しきい値パラメータ(下限終点パラメータ)

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

注: この表記は、HISTOGRAMステートメントを使って当てはめる他の分布の表記と一貫性があります。ただし、Johnson、KotzおよびBalakrishnan (1995)など多くのテキストで、べき関数分布の密度関数は次のように記述されています。

これら2つのパラメータ化には次のような関係があります。

注:べき関数分布族は、次の密度関数のベータ分布の部分集合です。

ここで、で、パラメータです。したがって、ベータ分布の特性および推定手順がすべて適用されます。

べき関数分布の範囲の下限はしきい値パラメータで、上限はです。POWERオプションを使用して当てはめたべき関数曲線を指定する場合、は最小データ値より小さく、は最大データ値より大きい必要があります。およびは、キーワードPOWERの後のかっこ内のTHETA= / SIGMA= power-optionsで指定できます。デフォルトでは、およびです。THETA=ESTおよびSIGMA=ESTを指定すると、 および の最尤推定値が計算されます。ただし、3パラメータの最尤推定は、収束するとは限りません。

また、は、ALPHA= power-optionで指定できます。デフォルトでは、 の最尤推定値が計算されます。たとえば、下限が32、上限が212のデータセットに、の最尤推定値を使用するべき関数密度曲線を当てはめるには、次のステートメントを使用します。

histogram Length / power(theta=32 sigma=180);

レイリー分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• 下限しきい値パラメータ(下限終点パラメータ)

• 尺度パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

注:レイリー分布は、次の密度関数のWeibull分布です。

形状パラメータはで、尺度パラメータはです。

しきい値パラメータは最小データ値より小さい必要があります。は、THETA= Rayleigh-optionで指定できます。デフォルトでは、です。また、は、SIGMA= Rayleigh-optionで指定できます。デフォルトでは、 の最尤推定値が計算されます。

たとえば、下限が32のデータセットに、の最尤推定値を使用するレイリー密度曲線を当てはめるには、次のステートメントを使用します。

histogram Length / rayleigh(theta=32);

Johnson 分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• しきい値パラメータ

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

分布の下限はパラメータで、上限は値です。パラメータ は最小データ値未満でなければなりません。は、THETA= -optionで指定できます。または、THETA = EST -optionを使用すると、の推定を要求できます。のデフォルト値は0です。合計は最大データ値より大きい必要があります。のデフォルト値は1です。は、SIGMA= -optionで指定できます。または、SIGMA = EST -optionを使用すると、の推定を要求できます。

デフォルトでは、Slifker and Shapiro (1980)により与えられたパーセント点の方式を使用して、パラメータが推定されます。この方式は、、、、 で表される4つのデータパーセント点に基づいています。これらは、変換時に 、、、 で表される、標準正規分布の4つの均等間隔のパーセント点に対応しています。

のデフォルト値は0.524です。当てはめの結果は の選択に依存します。他の値を指定するには、FITINTERVAL=オプションを使用します(SBオプションの後にかっこで囲んで指定)。パーセント点法を使用する場合には、パーセント点に対応するの値を選択することが、アプリケーションできわめて重要です。

次の値は、データパーセント値から計算されます。

これはSlifker and Shapiro (1980)により証明されました。

プラスマイナス1の許容誤差区分を使用することにより、この比条件で3つのファミリ間を区別します。許容誤差は、FITTOLERANCE=オプションで指定できます(SBオプションの後にかっこで囲んで指定します)。デフォルトの許容誤差は0.01です。この基準は、非同等性を満足するものと仮定します。

分布のパラメータを計算するには、Slifker and Shapiro (1980)により導出された明示的な公式を使用します。

FITMETHOD = MOMENTSを(SBオプションの後にかっこで囲んで)指定すると、積率法がパラメータ推定に使用されます。FITMETHOD = MLEを(SBオプションの後にかっこで囲んで)指定すると、最尤法がパラメータ推定に使用されます。ただし、最尤推定値は必ず存在するとは限りません。Johnson分布を当てはめる方法については、Bowman and Shenton (1983)を参照してください。

Johnson 分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• 位置パラメータ

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

パラメータは、THETA= / SIGMA= / DELTA= / GAMMA= -optionsで指定できます。これらのオプションはSUオプションの後にかっこで囲んで指定します。これらのパラメータを指定しなかった場合は、それぞれ推定されます。

デフォルトでは、Slifker and Shapiro (1980)により与えられたパーセント点の方式を使用して、パラメータが推定されます。この方式は、、、、 で表される4つのデータパーセント点に基づいています。これらは、変換時に 、、、 で表される、標準正規分布の4つの均等間隔のパーセント点に対応しています。

のデフォルト値は0.524です。当てはめの結果は の選択に依存します。他の値を指定するには、FITINTERVAL=オプションを使用します(SBオプションの後にかっこで囲んで指定)。パーセント点法を使用する場合、パーセント点に対応するの値を選択する必要があります。これはアプリケーションできわめて重要です。の値は、FITINTERVAL=オプションで指定できます(SUオプションの後にかっこで囲んで指定します)。

次の値は、データパーセント値から計算されます。

これはSlifker and Shapiro (1980)により証明されました。

プラスマイナス1の許容誤差区分を使用することにより、この比条件で3つのファミリ間を区別します。許容誤差は、FITTOLERANCE=オプションで指定できます(SUオプションの後にかっこで囲んで指定します)。デフォルトの許容誤差は0.01です。この基準は、非同等性を満足するものと仮定します。

分布のパラメータを計算するには、Slifker and Shapiro (1980)により導出された明示的な公式を使用します。

FITMETHOD = MOMENTSを(SUオプションの後にかっこで囲んで)指定すると、積率法がパラメータ推定に使用されます。FITMETHOD = MLEを(SUオプションの後にかっこで囲んで)指定すると、最尤法がパラメータ推定に使用されます。ただし、最尤推定値は必ず存在するとは限りません。Johnson分布を当てはめる方法については、Bowman and Shenton (1983)を参照してください。

Weibull分布

適合する密度関数は次のようになります。

説明

• いき値パラメータ

• 尺度パラメータ

• 形状パラメータ

• ヒストグラム区間の幅

• 垂直比率

および

パラメータ は最小データ値未満でなければなりません。は、THRESHOLD= Weibull-optionで指定できます。デフォルトでは、 です。THETA=ESTを指定すると、 の最尤推定値が計算されます。およびは、SCALE= / SHAPE= Weibull-optionsでそれぞれ指定できます。デフォルトでは、 および の最尤推定値が計算されます。

指数分布は、特殊なケースのWeibull分布(の場合)です。