UNIVARIATEプロシジャ

パーセント点の計算

UNIVARIATEプロシジャは、各分析変数の最小値および最大値と、1番目、5番目、10番目、25番目、50番目、75番目、90番目、95番目、99番目のパーセント点(分位点)を自動的に計算します。これらのデフォルトパーセント点以外のパーセント点を計算するには、OUTPUTステートメントのPCTLPTS=オプションおよびPCTLPRE=オプションを使用します。

PCTLDEF=オプションで、5つのパーセント点計算定義のうち1つを指定できます。 $\text{[math]}$ は変数の非欠損値の数、 $\text{[math]}$ は並べ替えられた変数の値を表すとします。また、 $\text{[math]}$ 番目のパーセント点が $\text{[math]}$ であるとし、 $\text{[math]}$ と設定し、次のとおりであるとします。

$\text{[math]}$

ここで、 $\text{[math]}$ はnpの整数部分、 $\text{[math]}$ はnpの小数部分です。この場合、PCTLDEF=オプションは、 $\text{[math]}$ 番目のパーセント点 $\text{[math]}$ を次の表の説明のように定義します。

PCTLDEF	説明	公式
1	$\text{[math]}$ での重み付き平均	$\text{[math]}$
		ここで、 $\text{[math]}$ は $\text{[math]}$ と解釈される
2	npに最も近い番号のオブザベーション	$\text{[math]}$
3	経験分布関数	$\text{[math]}$
4	重み付き平均	$\text{[math]}$
	$\text{[math]}$ を目的とします	ここで、 $\text{[math]}$ は $\text{[math]}$ と解釈される
5	平均化された経験分布関数	$\text{[math]}$

重み付きパーセント点

WEIGHTステートメントを使用する場合、パーセント点は異なる方法で計算されます。100 $\text{[math]}$ 番目の重み付きパーセント点 $\text{[math]}$ は、平均化された経験分布関数から計算されます。

$\text{[math]}$

ここで、 $\text{[math]}$ は $\text{[math]}$ に関連付けられた重みで、 $\text{[math]}$ は重みの合計です。

PCTLDEF=オプションは、WEIGHTステートメントが使用される場合は適用されません。ただし、この場合、重みがすべて同じであれば、重み付きパーセント点は、WEIGHTステートメントを使用せずにPCTLDEF=5で計算されるパーセント点と同じになります。

パーセント点の信頼区間

CIPCTLNORMALオプションを使用すると、データが正規分布であると仮定して、パーセント点の信頼限界を要求できます。これらの限界については、Hahn and Meeker (1991)のセクション4.4.1で説明されています。 $\text{[math]}$ の場合、両側の $\text{[math]}$ 信頼限界( $\text{[math]}$ 番目のパーセント点に対するもの)は次のようになる

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ は標本サイズです。 $\text{[math]}$ の場合、両側の $\text{[math]}$ 信頼限界( $\text{[math]}$ 番目のパーセント点に対するもの)は次のようになる

$\text{[math]}$

片側の $\text{[math]}$ 信頼限界は、適切な前の式の $\text{[math]}$ を $\text{[math]}$ に置き換えて計算されます。因子 $\text{[math]}$ は非心 $\text{[math]}$ 分布に関連し、Owen and Hua (1977)およびOdeh and Owen (1980)で説明されています。例4.10を参照してください。

CIPCTLDFオプションを使用すると、パーセント点の分布によらない信頼限界を要求できます。特に、データが正規分布であると仮定する必要がありません。これらの限界については、Hahn and Meeker (1991)のセクション5.2で説明されています。 $\text{[math]}$ 番目のパーセント点の両側の $\text{[math]}$ 信頼限界は次のとおりです。

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ は、データ値が昇順で並べ替えられている場合の $\text{[math]}$ 番目の順序統計量です。

$\text{[math]}$

下のランク $\text{[math]}$ と上のランク $\text{[math]}$ は、 $\text{[math]}$ の前後で対称(またはほぼ対象)な整数です。 $\text{[math]}$ は $\text{[math]}$ の整数部分で、 $\text{[math]}$ は標本サイズです。また、 $\text{[math]}$ と $\text{[math]}$ は、次の包含確率要件を満たしながら、 $\text{[math]}$ と $\text{[math]}$ ができるだけ $\text{[math]}$ に近くなるように選択されます。

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ は次の累積二項確率です。

$\text{[math]}$

特に $\text{[math]}$ が小さく、 $\text{[math]}$ が0または1に小さい場合は、包含要件を満たすことができないことがあります。対称性の要件を緩和するには、CIPCTLDF(TYPE = ASYMMETRIC)を指定できます。このオプションは、包含要件を満たすことができる場合は対称限界を要求し、それ以外の場合は非対称限界を要求します。

CIPCTLDF(TYPE = LOWER)を指定すると、片側の $\text{[math]}$ 下位信頼限界が $\text{[math]}$ として計算されます。 $\text{[math]}$ は次の非同等性を満たす最も大きい整数です。

$\text{[math]}$

ただし、 $\text{[math]}$ とします。同様に、CIPCTLDF(TYPE = UPPER)を指定すると、片側の $\text{[math]}$ 下位信頼限界が $\text{[math]}$ として計算されます。 $\text{[math]}$ は次の非同等性を満たす最も大きい整数です。

$\text{[math]}$

パーセント点の信頼限界は、WEIGHTステートメントが指定されている場合は計算されません。例4.10を参照してください。