FREQプロシジャ

共通リスク差

FREQプロシジャは、多元 $2 \times 2$ 表の共通リスク(比率)差のMantel-Haenszel推定値および要約スコア推定値を計算します。 FREQプロシジャは、共通リスク差の層化Newcombe信頼限界も計算します。

共通リスク差のMantel-Haenszel推定値

FREQプロシジャは、共通リスク差のMantel-Haenszel (Mantel and Haenszel, 1959)推定値を次のように計算します。

$\hat{d}_{\mi{MH}} = \left( \sum _ h \hat{d}_ h w_ h \right) ~ / ~ \left( \sum _ h w_ h \right)$

ここで、 $\hat{d}_ h$ は層hのリスク差であり、次の式が成り立ちます。

$w_ h = n_{h1\cdot } n_{h2\cdot } / n_ h$

層hの列1のリスク差は次のように計算されます。

$\hat{d}_ h = \hat{p}_{h1} - \hat{p}_{h2} = (n_{h11} / n_{h1 \cdot }) - (n_{h21} / n_{h2 \cdot })$

ここで、 $\hat{p}_{h1}$ は、列1に分類される行1オブザベーションの比率であり、 $\hat{p}_{h2}$ は、列1に分類される行2オブザベーションの比率です。列2のリスクは同じ方法で計算されます。詳細は、Agresti (2013, p. 231)を参照してください。

FREQプロシジャは、次のように $\hat{d}_{\mi{MH}}$ (Sato, 1989)の分散を計算します。

$\hat{\sigma }^2(\hat{d}_{\mi{MH}}) = \left( \hat{d}_{\mi{MH}} \sum _ h P_ h + \sum _ h Q_ h \right) / \left( \sum _ h w_ h \right)^2$

ここで、

$P_ h = \left( n_{h1\cdot }^2 n_{h21} - n_{h2\cdot }^2 n_{h11} + n_{h1\cdot } n_{h2\cdot } (n_{h2\cdot }-n_{h1\cdot })/2 \right) / n_ h^2$

$Q_ h = \left( n_{h11} ( n_{h2\cdot } - n_{h21} ) + n_{h21} (n_{h1\cdot } - n_{h11} ) \right) / 2 n_ h$

共通リスク差の $100(1-\alpha )$ %の信頼限界は、次のように計算されます。

$\hat{d}_{\mi{MH}} ~ \pm ~ \left( z_{\alpha /2} \times \hat{\sigma }(\hat{d}_{\mi{MH}}) \right)$

共通リスク差の要約スコア推定値

FREQプロシジャは、Agresti (2013, p. 231)の説明にあるように、共通リスク差の要約スコア推定値を計算します。この推定値は、層リスク差のMiettinen-Nurminen (スコア)信頼限界から計算されます。詳細は、"Miettinen-Nurminen (スコア)信頼限界"のセクションを参照してください。層hのリスク差のスコア信頼区間は $\hat{d}_ h^\prime \pm z_{\alpha /2} s_ h^\prime$ で表されます。ここで、 $\hat{d}_ h^\prime$ はスコア信頼区間の中間点、 $s_ h^\prime$ は信頼区間の幅を $2z_{\alpha /2}$ で割った値です。共通リスク差の要約スコア推定値は、次のように計算されます。

$\hat{d}_{\mi{S}} = \sum _ h \hat{d}_ h^\prime w_ h^\prime$

ここで、

$w_ h^\prime = ( 1 / {s_ h^\prime }^2 ) / \sum _ i (1/{s_ i^\prime }^2)$

$\hat{d}_{\mi{S}}$ の分散は、次のように計算されます。

$\hat{\sigma }^2(\hat{d}_{\mi{S}}) = 1 / \sum _ h ( 1 / {s_ h^\prime }^2 )$

共通リスク差の $100(1-\alpha )$ %の要約スコア信頼限界は、次のように計算されます。

$\hat{d}_{\mi{S}} ~ \pm ~ \left( z_{\alpha /2} \times \hat{\sigma }(\hat{d}_{\mi{S}}) \right)$

共通リスク差の層化Newcombe信頼限界

FREQプロシジャは、Yan and Su (2010)の方法を使用して、共通リスク(比率)差の層化Newcombe信頼限界を計算します。層化Newcombe信頼限界は、共通(全体)行比率の層化Wilson信頼限界から構成されます。

FREQプロシジャは、最初に各 $2 \times 2$ 表(層)における行比率の個別Wilson信頼限界を計算します。詳細は、Wilson (スコア)信頼限界のセクションを参照してください。次に、Mantel-Haenszel重みを使用して、これらの層化Wilson信頼限界が結合され、全体行比率の層化Wilson信頼限界が形成されます。ここで、層hのMantel-Haenszel重みは次のように計算されます。

$w_ h = n_{h1\cdot } n_{h2\cdot } / n_ h$

層化Wilson信頼限界の信頼水準は、(層化Wilson信頼限界の)全体的な信頼係数が $100(1 - \alpha )$ % (Yan and Su, 2010)になるように選択されます。

共通行1の比率の下側および上側の層化Wilsonスコア信頼限界をそれぞれ $L_1$ と $U_1$ で表し、共通行2の比率の下側および上側の層化Wilson信頼限界をそれぞれ $L_2$ と $U_2$ で表します。共通リスク(比率)差の $100(1-\alpha )$ %の層化Newcombe信頼限界は、次のように計算されます。

$\begin{eqnarray*} L & = & \hat{d}_{\mi{MH}} ~ - ~ z_{\alpha /2} \sqrt { \lambda _1 L_1 (1-L_1) + \lambda _2 U_2 (1-U_2) } \\[0.10in] U & = & \hat{d}_{\mi{MH}} ~ + ~ z_{\alpha /2} \sqrt { \lambda _2 L_2 (1-L_2) + \lambda _1 U_1 (1-U_1) } \end{eqnarray*}$

ここで、 $\hat{d}_{\mi{MH}}$ は、共通リスク差のMantel-Haenszel推定値です。

$\begin{eqnarray*} \lambda _1 & = & \sum _ h w_ h^2 / n_{h1\cdot } \\[0.05in] \lambda _2 & = & \sum _ h w_ h^2 / n_{h2\cdot } \end{eqnarray*}$

単一層がある場合、層化Newcombe信頼区間は(非層化)Newcombe信頼区間に等しくなります。詳細は、セクションリスク差の信頼限界内のサブセクション"Newcombe信頼限界"を参照してください。Kim and Won (2013)も参照してください。