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CORRプロシジャ

Fisherのz変換

標本相関 $\text{[math]}$ が相関 $\text{[math]}$ の2変量正規分布からの標本を使用する場合、次の統計量

$\text{[math]}$

は、自由度が $\text{[math]}$ であるStudentの $\text{[math]}$ 分布を持ちます。

相関 $\text{[math]}$ の単調変換 (Fisher 1921)の場合、

$\text{[math]}$

統計量 $\text{[math]}$ は、次の平均と分散を持つ近似正規分布を持ちます。

$\text{[math]}$

ここで、 $\text{[math]}$ となります。

変換された $\text{[math]}$ では、近似分散 $\text{[math]}$ は相関 $\text{[math]}$ から独立になります。また、 $\text{[math]}$ の分布が厳密な正規分布ではない場合であっても、 $\text{[math]}$ の任意の値の標本サイズが大きくなると、同分布は急速に正規性を持つようになります(Fisher 1970, pp. 200–201).

帰無仮説 $\text{[math]}$ で $\text{[math]}$ 値を計算するには、次の式

$\text{[math]}$

を平均がゼロで分散が $\text{[math]}$ の正規ランダム変数として取り扱います。ここで、 $\text{[math]}$ です(Fisher 1970, p. 207; Anderson 1984, p. 123) 。

CORRプロシジャでは、帰無仮説 $\text{[math]}$ に基づいて $\text{[math]}$ 値を計算する場合、バイアス調整 $\text{[math]}$ が必ず使用されます。

FISHERオプション内のALPHA=オプションは、信頼水準 $\text{[math]}$ の値 $\text{[math]}$ を指定します。RHO0=オプションは、帰無仮説 $\text{[math]}$ での値 $\text{[math]}$ を指定します。BIASADJ=オプションは、信頼水準でバイアス調整を使用するかどうかを指定します。

TYPE=オプションは、信頼限界のタイプを指定します。TYPE=TWOSIDEDオプションは、帰無仮説 $\text{[math]}$ の下での両側信頼限界と $\text{[math]}$ 値を要求します。片側信頼限界の場合、TYPE=LOWERオプションは、帰無仮説 $\text{[math]}$ の下での下側信頼限界と $\text{[math]}$ 値を要求します。TYPE=UPPERオプションは、帰無仮説 $\text{[math]}$ の下での上側信頼限界と $\text{[math]}$ 値を要求します。

相関に対する信頼区間

相関 $\text{[math]}$ の信頼限界は、バイアス調整の有無にかかわらず、パラメータ $\text{[math]}$ の信頼限界を通じて導かれます。

バイアス調整を行わない場合、 $\text{[math]}$ の信頼限界を計算するには、次の式

$\text{[math]}$

が平均ゼロで分散 $\text{[math]}$ の正規分布を持つものとして扱います。

すなわち、 $\text{[math]}$ の両側の信頼限界は次のように計算されます。

$\text{[math]}$

ここで、 $\text{[math]}$ は標準正規分布の $\text{[math]}$ 番目のパーセント点です。

バイアス調整を行う場合、 $\text{[math]}$ の信頼限界を計算するには、次の式

$\text{[math]}$

が平均ゼロで分散 $\text{[math]}$ の正規分布を持つものとして扱います。ここで、バイアス調整関数(Keeping 1962, p. 308)は次のようになります。

$\text{[math]}$

すなわち、 $\text{[math]}$ の両側の信頼限界は次のように計算されます。

$\text{[math]}$

続いて、上記の $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ に関して計算された信頼限界の変換を元に戻すことにより、相関 $\text{[math]}$ の信頼限界が導かれます。

$\text{[math]}$

バイアス調整を行う場合、CORRプロシジャは次のような相関推定値も表示します。

$\text{[math]}$

Fisherのz変換の応用

Fisher (1970, p. 199)は、次に示すような $\text{[math]}$ 変換の具体的な応用を紹介しています。

母集団相関が指定の値に等しいかどうかのテスト
2つの母集団相関が等しいかどうかのテスト
異なる標本から計算した相関推定値の結合

オブザベーション数が $\text{[math]}$ で標本相関が $\text{[math]}$ である標本からの母集団相関 $\text{[math]}$ が、与えられた $\text{[math]}$ に等しい場合、まず $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ に対して $\text{[math]}$ 変換を適用します。

続いて、 $\text{[math]}$ 値を計算するには、次の式

$\text{[math]}$

を平均ゼロで分散 $\text{[math]}$ の正規ランダム変数として扱います。

標本推定値 $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ は、それぞれ $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ というオブザベーションの2つの独立した標本から計算されます。2つの対応する母集団相関 $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ が等しいかどうかをテストするには、まず $\text{[math]}$ 変換を2つの標本相関である $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ に対して適用します。

$\text{[math]}$ 値は、等しい相関の帰無仮説の下で導かれます。すなわち、差 $\text{[math]}$ は、平均がゼロで分散が $\text{[math]}$ である正規ランダム変数として分布されます。

さらに、2つの標本が同じ相関をもつ母集団から抽出されたと仮定すると、結合された相関推定値を計算できます。対応する $\text{[math]}$ 値の重み付き平均は次の式で表されます。

$\text{[math]}$

ここで、重みは、それらの分散に対して反比例します。

このため、結合された相関推定値は、 $\text{[math]}$ および $\text{[math]}$ となります。これらの応用に関する詳細は、例2.4を参照してください。

なお、このアプローチは、複数の標本を含めるように拡張できます。