CORRプロシジャ

Fisherのz変換

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標本相関rが相関 $\rho = 0$ の2変量正規分布からの標本を使用する場合、次の統計量

$t_ r \, = \, {(n-2)}^{1/2} \, {\left(\frac{r^{2}}{1-r^{2}}\right)}^{1/2}$

は、自由度がn-2であるStudentのt分布に従います。

相関rの単調変換(Fisher, 1921)の場合、

$z_ r \, = \, {\tanh }^{-1} ( r ) \, = \, \frac{1}{2} \, \log \left( \frac{1+r}{1-r} \right)$

統計量zは、次の平均と分散を持つ近似正規分布に従います。

$E(z_ r) \, = \, \zeta \, + \, \frac{\rho }{2(n-1)}$

$V(z_ r) \, = \, \frac{1}{n-3}$

ここで、 ${\zeta } = {\tanh }^{-1} ({\rho })$ です。

変換された $z_ r$ では、近似分布 $V(z_ r) = 1/(n-3)$ は相関 $\rho$ から独立になります。また、 $z_ r$ の分布が厳密な正規分布ではない場合であっても、 $\rho$ の任意の値の標本サイズが大きくなると、同分布は急速に正規性を持つようになります(Fisher, 1973, pp. 200–201)。

帰無仮説 $H_0\colon \rho ={\rho }_{0}$ で、p値を計算するには、次の式

$z_ r - {\zeta }_{0} - \frac{{\rho }_{0}}{2(n-1)}$

を平均ゼロで分散が $1/(n-3)$ である正規ランダム変数として扱います。ここで、 ${\zeta }_{0} = {\tanh }^{-1} ({\rho }_{0})$ です(Fisher 1973, p. 207; Anderson 1984, p. 123)。

CORRプロシジャでは、帰無仮説 $H_0\colon \rho =\rho _{0}$ に基づいてp値を計算する場合、必ずバイアス調整 ${\rho }_{0}/(2(n-1))$ が使用されます。

FISHERオプション内のALPHA=オプションは、信頼水準 $1-\alpha$ の値 $\alpha$ を指定します。RHO0=オプションは、帰無仮説 $H_0\colon \rho ={\rho }_{0}$ での値 $\rho _{0}$ を指定します。BIASADJ=オプションは、信頼限界でバイアス調整を使用するかどうかを指定します。

TYPE=オプションは、信頼限界の種類を指定します。TYPE=TWOSIDEDオプションは、帰無仮説 $H_0\colon \rho ={\rho }_{0}$ の下での両側信頼限界とp値を要求します。片側信頼限界の場合、TYPE=LOWERオプションは、帰無仮説 $H_0\colon \rho <={\rho }_{0}$ の下での下側信頼限界とp値を要求します。TYPE=UPPERオプションは、帰無仮説 $H_0\colon \rho >={\rho }_{0}$ の下での上側信頼限界とp値を要求します。

相関に対する信頼限界

相関 $\rho$ の信頼限界は、バイアス調整の有無にかかわらず、パラメータ $\zeta$ の信頼限界を介して導かれます。

バイアス調整を行わない場合、 $\zeta$ の信頼限界を計算するには、次の式

$z_ r - \zeta$

が平均ゼロで分散が $1/(n-3)$ である正規分布に従うものとして扱います。

すなわち、 $\zeta$ の両側の信頼限界は次のように計算されます。

${\zeta }_ l = z_ r - z_{(1-\alpha /2)} \, \sqrt {\frac{1}{n-3}}$

${\zeta }_ u = z_ r + z_{(1-\alpha /2)} \, \sqrt {\frac{1}{n-3}}$

ここで、 $z_{(1-\alpha /2)}$ は標準正規分布の $100(1-\alpha /2)$ 番目のパーセント点です。

バイアス調整を行う場合、 $\zeta$ の信頼限界を計算するには、次の式

$z_ r - \zeta - \mr{bias}(r)$

が平均ゼロで分散が $1/(n-3)$ である正規分布を従うものとして扱います。ここで、バイアス調整関数(Keeping, 1962, p. 308)は次のようになります。

$\mr{bias}(r_ r) = \frac{r}{2(n-1)}$

すなわち、 $\zeta$ の両側の信頼限界は次のように計算されます。

${\zeta }_ l = z_ r - \mr{bias}(r) - z_{(1-\alpha /2)} \, \sqrt {\frac{1}{n-3}}$

${\zeta }_ u = z_ r - \mr{bias}(r) + z_{(1-\alpha /2)} \, \sqrt {\frac{1}{n-3}}$

続いて、上記の ${\zeta }_ l$ および ${\zeta }_ u$ に関して計算された信頼限界の変換を元に戻すことにより、相関 $\rho$ の信頼限界が導かれます。

$r_{l} = \tanh ( {\zeta }_{l} ) = \frac{ \exp ( 2 {\zeta }_{l}) -1}{ \exp ( 2 {\zeta }_{l}) +1}$

$r_{u} = \tanh ( {\zeta }_{u} ) = \frac{ \exp ( 2 {\zeta }_{u}) -1}{ \exp ( 2 {\zeta }_{u}) +1}$

バイアス調整を行う場合、CORRプロシジャは次のような相関推定値も表示します。

$r_{adj} = \tanh ( z_ r - \mr{bias}(r) )$

Fisherのz変換の応用

Fisher (1973, p. 199)は、次に示すようなz変換の具体的な応用を紹介しています。

母集団相関が指定の値に等しいかどうかのテスト
2つの母集団相関が等しいかどうかのテスト
異なる標本から計算した相関推定値の結合

オブザベーション数が $n_1$ で標本相関が $r_1$ である標本からの母集団相関 $\rho _1$ が、与えられた $\rho _{0}$ に等しい場合、まず $r_1$ および $\rho _{0}$ : $z_{1} = {\tanh }^{-1} (r_{1})$ および ${\zeta }_{0} = {\tanh }^{-1} ({\rho }_{0})$ に対してz変換を適用します。

続いて、p値を計算するには、次の式

$z_1 - {\zeta }_{0} - \frac{{\rho }_{0}}{2(n_{1}-1)}$

が平均ゼロで分散が $1/(n_{1}-3)$ である正規分布に従うものとして扱います。

標本推定値 $r_{1}$ および $r_{2}$ は、それぞれ $n_1$ および $n_2$ というオブザベーションの2つの独立した標本から計算されます。2つの母集団相関 $\rho _1$ および $\rho _2$ が等しいかどうかをテストするには、まずz変換を2つの標本相関である $z_{1} = {\tanh }^{-1} (r_{1})$ および $z_{2} = {\tanh }^{-1} (r_{2})$ に対して適用します。

p値は、等しい相関の帰無仮説の下で導かれます。すなわち、差 $z_{1} - z_{2}$ は、平均がゼロで分散が $1/(n_{1}-3) + 1/(n_{2}-3)$ である正規ランダム変数として分布されます。

さらに、2つの標本が同じ相関をもつ母集団から抽出されたと仮定すると、結合された相関推定値を計算できます。z値の重み付き平均は次の式で表されます。

$\bar{z} = \frac{(n_{1}-3) z_{1} + (n_{2} -3) z_{2}}{n_{1}+n_{2}-6}$

ここで、重みは、それらの分散に対して反比例します。

このため、結合された相関推定値は、 $\bar{r} = {\tanh } (\bar{z})$ および $V(\bar{z}) = 1 / (n_{1} + n_{2} -6)$ となります。これらの応用に関する詳細は、例2.4を参照してください。

なお、この手法は、複数の標本を含めるように拡張できます。