第4回 主成分への回帰の不思議

1.要因のウェイトを知りたい

随想の第１回で、何の因果か私がマーケティングの世界で働くことになった話をしました。今回はその続きです。

【ウェイトを知りたいという欲求】
企業を回って御用聞きをしていた頃のことです。複数の要因があって、それぞれの重みを知りたいのだがどうしたらよいのか？というご質問をよく受けました。ウェイトとか重要度とか呼び方は様々ですが、その解釈は一緒です。企業の方は自社品が売れればそれでいいと言います。誠にその通りですが、現実には企業が満足するほど売れることなどめったにありません。むしろ期待を裏切ってしまうことが多いものです。すると企業としては、その理由を知りたくなります。つまり販売実績を知っただけでは何の情報価値もないわけで、不振の原因が何かが分からなければ打つべき対策が見えてきません。

質問をする側もデータ解析の素人ですが、答える私も素人です。どうしたらいいのだろう？重回帰分析で答えが出せるのだろうか？と悩んだものです。

当時この議論のベンチマークとして良くとりあげられたのがCS（customer satisfaction, 顧客満足）の調査・コンサルティングで有名な米国の J.D. パワー社でした。

同社では自動車のモデル別、メーカー別のCSI（顧客満足度指標）を1980年から公表していました。自動車の再購入意図とCSの関係が大きいことを論拠にCSこそがビジネスの原点であると言われたものです。同社の CSIの作り方は顧客満足の総合評価を基準変数にして、その原因系として技術と人的サービスの２つの説明変数を設定したもので、『CSI＝技術+人的サービス』というのが基本的なモデルでした。その概要は1990年4月26日の日経産業新聞に紹介されています。

具体的にどのようにインデックスを作成したのかというと、たとえば1986年の調査では145の自動車のモデルを23個の変数で評価させて、その平均値を求めます。次に145行23列の平均値データ行列を因子分析して２因子を抽出して因子得点のベクトルf1,f2を推定します。最後に図1のように顧客満足度のベクトルyを２因子によって張られる因子空間S(F)に射影するという仕組みでした。ベクトルが顧客満足度のモデル値になります。図１のeは残差ベクトルです。

J.D. パワー社の社長J.D.Power３世自身が1990年に来日してCSIのセミナーを開きました。セミナーのTechnical description of the indexの資料には、cを定数にして次のような趣旨の予測式が書かれています。

彼らが行った因子分析は直交解でしたので、直交空間への回帰によって２つの要因の重みを求めたことになります。このように全体的な結果に及ぼす個別要因の重みを知りたいという欲求は、サービス分野だけでなく製品開発の分野でも出てきます。たとえば製品の総合評価を決めるのはデザインなのか性能なのかという議論は、様々な製造業で交わされる議論でしょう。

【重みを知るという意味】
要因が２因子だけという事態はごくまれで、現実には多数の要因が考えられます。それらを説明変数と書きましょう。かりに重回帰分析をしたとして、p個の変数に対応した偏回帰係数を、標準偏回帰係数をと書きましょう。さて重みを知りたいというマーケターの欲求を整理しますと表１のようになります。

3.偶然にかける一縷の望み

【主成分への回帰とは】
RPC（Regression on Principal Component,主成分への回帰）の説明をしましょう。あくまでも本稿はエッセーなので、煩わしければ数式部分は読み飛ばしてくださって結構です。

ｎ行ｐ列の平均偏差データ行列をXとして主成分スコア行列がF=XWで与えられたとします。行列は大文字ゴシックの斜体で書きましょう。主成分は分散共分散行列の固有値が大きい順にｒ個までで打ち切るとします。順にｒ個の固有ベクトルを並べたｐ行ｒ列の行列がWです。Ｆによって基準変数ｙを予測する偏回帰係数をhとすれば､ｙの予測値は次式のように表現できます。なおベクトルは小文字のゴシックの斜体で区別します。

ここで②の右辺のXから先の部分をg = W(F' F )-1 F'yとまとめて書きましょう。本稿ではこれをRPCウェイトと呼びましょう。ｇは行列Wとベクトルｈの掛け算で求められますので、電卓やEXCELで簡単に計算できます。②をｇを使って表しますと、

回帰分析で偏回帰係数を推定する②式の段階では、元々のｐ個よりも少ないｒ個の説明変数を使いますし、しかも説明変数である主成分は直交しています。ですから原データのXを使った回帰分析よりも望ましい状況で回帰分析をしていることになります。にもかかわらず、③においてXに掛けられる係数ベクトルｇが導けます。抽象的な主成分ではなく、元々の説明変数に対応した係数が分かるので、具体的にウェイトが理解できます。なお③の予測式の決定係数は②の回帰分析と同じです。

【直観に訴える望ましさ】
問題は、通常の重回帰分析（OLSと呼びましょう）から得られるｂと主成分への回帰から得られるｇのどちらが良いのか？ということです。

全く経験的な話で恐縮ですが、ｇの方が納得のいく結果が得られやすいという印象をもちました。好きなテレビタレントのイメージを分析すると、OLSよりもRPCの方が「セクシーな」の順位が上がりました。「センスがいい」と「現代的な」はマイナスからプラスに変わりました。

またスキー板の購入意向の分析ではOLSでは「ダサい」の回帰係数が高かったのに対して、RPCでは「プロっぽい」や「カッコいい」の係数が高くなりました。

4.綱渡りのようなトリック

【厳密さの追求】
厳密さを追求するとどうなるのでしょうか。当時、あるマーケターから主成分を全根出してRPCウェイトを正確に計算してください、と注文されたことがあります。

実際に計算してみれば分かることですが、どうなるかを説明しましょう。ここではｐ個の主成分得点を並べた行列をF、対応する主成分係数の行列をWとします。

④がRPCウェイト、⑤は分散共分散行列のスペクトル分解で、Λは固有値を主対角要素とするｐ次の対角行列、⑥はその逆行列を示します。⑦で固有値とは主成分スコアの分散に他ならないことを示していますが、そこではW'W=Iという性質を使っています。⑧でその逆行列を用意しておきます。⑤から⑧まではすべて主成分分析について既知の性質です。

以上の準備のもとに④の右辺に⑧と⑥を代入して展開すると、ｇがOLSの偏回帰係数ｂに一致することが証明できます。

厳密さを追求するとOLSの解に帰着するので、主成分に回帰する意味がなくなる、というのがこと真相です。あえて全根を出さないという「綱渡りのようなサジ加減」にRPCの醍醐味があります。

【主成分の選択】
なお各主成分の重要度は固有値で評価されると言いながらも、基準変数ｙを予測することが最終目的ですから、固有値は説明変数としての重要性を意味しません。第１主成分を飛ばして、その先の主成分に予測の上で重要な主成分があってもおかしくないのです。これもRPCと主成分の打ち切り基準の間に整合性がなくて悩ましい問題です。全根の主成分スコアFを出しておいて、変数選択の回帰分析を行えば、主成分のあいまいな打ち切り基準を避けることができるかもしれません。いずれにしても試行錯誤をして納得しやすいｇを探すことになります。

【まとめ】
J.D.パワーも、③と似たような計算を因子分析にあてはめて個々の説明変数のウェイトを導きました。ですから「因子分析への回帰」もRPCと同様にできるのです。ただし、因子分析には共通性の推定と回転法にそれぞれバリエーションがたくさんあるために、データ解析の全プロセスを正確に開示しない限り、他者が分析結果を再現できません。

因子分析があいまいだとか主成分分析より劣っている、という意味ではありません。ただ因子分析の方が主成分分析より複雑だ、というだけのことです。

さて、私はマーケティングの現場の方々との議論を通じて要因のウェイトを評価することの難しさを実感しました。そのために無相関のデータを計画的に生成することに関心を持つようになりました。その関心の延長上にコンジョイント分析があったのです。コンジョイント分析についてはいずれ稿をあらためて随想したいと思います。

（注1）次の本でマルチコの発見法を3通り、マルチコの対策を8通り紹介しています。
朝野熙彦『入門多変量解析の実際　第2版』講談社　2000年10月20日